VISUALISATION – 3D DE L'ATOME DANS LA MATIERE

mag3D Figure1 Figure2 Figure3 SYMPOSIUM FRANCO FINLANDAIS SYMPOSIUM Problème des phases The phase problem DVD Semiconducteur organométallique organosilicié TiO2-rutile SiO2-stishovite

Cu2O-cuprite K2PtCl6 Be-metal bases and 3D views Bases et vues 3D Si-et-Ge CaF2-fluorite NbC-2023

VISUALISATION – 3D DE L'ATOME DANS LA MATIERE

Jean-Pierre Vidal & Genevieve Vidal- Valat

Université Montpellier2, Place E. Bataillon, 34095 Montpellier Cedex 05, France,

e-mail : genevieve.vidal@umontpellier.fr jpvidal34@orange.fr

La diffraction des rayons X est engendrée par les propriétés d’interférences de faisceaux réémis par des sources électroniques dont les distances sont du même ordre de grandeur que les longueurs d’onde des rayons X. Les intensités diffusées sont des fonctions des propriétés électroniques des atomes.

La connaissance expérimentale de la répartition électronique à l'intérieur du cristal requiert des mesures d'intensités diffractées très précises, non routinières. Elle permet d'étudier le mécanisme des interactions entre ions du cristal. L'information obtenue est alors globale et constitue une moyenne sur un certain nombre d'atomes.

Nos données informatiques en 3 dimensions (3D) exclusivement expérimentales fournissent la vraie répartition du nuage électronique à l’intérieur de la matière. Notre fonction radiale est directement extraite de l'expérience et non choisie arbitrairement, contrairement aux méthodes de calcul standard numérique intensif répétitif de modélisation ou de simulation.

Par contre, le microscope à effet tunnel et les différentes microscopies à sonde locale balaient la surface de l'échantillon et permettent l'observation en surface des anomalies dans l’ordre atomique par traitement de l’image issue du signal enregistré. Ils ne révèlent que les défauts de surface au niveau atomique.

Introduction

Les propriétés électroniques des atomes d'un cristal peuvent être étudiées par la diffraction X, car seuls les électrons diffusent les RX. L'information expérimentale est contenue dans chacun des facteurs de structure F()ou amplitude diffractée.

Un exceptionnel ensemble de facteurs de structure expérimentaux est requis pour atteindre les déformations électroniques néanmoins tout à fait visibles. Que les déformations ne soient que de petits effets dans les intensités diffractées est un fait expérimental.

Diffraction des rayons X

L'amplitude des rayons X diffractée par un élément de volume de matière est proportionnelle au nombre d'électrons (ici charge électronique) contenu dans le volume dv, où ρ() est la densité électronique en de l'élément dv. Comme la structure d'un cristal est tripériodique, la diffraction par un cristal est concentrée selon des rayons étroits qui s'appellent réflexions puisqu'ils obéissent à la géométrie de la réflexion de Bragg provenant d'ensembles réguliers de plans parallèles formés par les atomes. Le phénomène dans sa totalité s'appelle diffraction des rayons X et les réflexions sont aussi appelées faisceaux diffractés.

Les réflexions sont dénotées par leurs vecteurs de diffusion normaux aux plans de réflexion. Les longueurs des vecteurs sont des multiples de 1/d, où d est la distance entre 2 plans réfléchissants. Du fait de la périodicité du cristal, la densité électronique du cristal de volume V peut s'exprimer mathématiquement sous la forme d'une série de Fourier

(1)

où les termes correspondent aux vecteurs de diffusion . Les coefficients F() sont les amplitudes diffractées par le cristal. Pour un vecteur de diffusion donné, l'amplitude totale diffractée par l'ensemble de la répartition électronique du volume V notée F() est

(2)

En unités électroniques, les F() représentent les amplitudes des RX diffractés par rapport à l'amplitude de la diffraction provenant d'un électron placé à l'origine (c'est-à-dire en prenant comme unité l'amplitude diffusée par un électron isolé dans les mêmes conditions géométriques). L'exponentielle est due à la différence de phase entre les rayons diffractés par un point et par l'origine O.

Les amplitudes diffractées d'un cristal sont donc accessibles par la mesure des intensités des faisceaux diffractés. Dès qu'elles sont connues, la densité électronique (1) peut se calculer. Les atomes apparaissent alors comme des pics de densité électronique.

Les forces interatomiques provoquent la cohésion des atomes et la construction des structures cristallines qui sont spécifiques à chaque sorte de matériau. Les forces sont dues aux interactions entre les électrons externes des atomes. Dans la densité de charge du cristal, les interactions s'observent par la conformation des pics atomiques de densité électronique. Donc, par des mesures soignées de diffraction X, il est possible d'étudier les mécanismes des liaisons qui sont de plus responsables de toutes les propriétés macroscopiques de la matière.

En pratique, ceci est une question d’un extrême perfectionnement de l'analyse.

Classiquement, les études par diffraction RX se contentent de la détermination des positions atomiques.

On peut penser qu'une analyse plus élaborée est accessible car entre la densité de charge et les facteurs de structure du cristal existe la relation (1).

Choix de l'analyse

On peut approcher cette analyse suivant 2 directions, soit à partir d'un modèle plus ou moins sophistiqué soit directement à partir des données par une méthode d’analyse respectant toute la richesse de la réalité.

La première approche revient, plus ou moins, à ajuster les paramètres des modèles qui sont choisis a priori d’où non unicité.

Dans la deuxième approche complètement expérimentale, celle que nous développons, les faits essentiels de l'information expérimentale sont extraits pour atteindre la grandeur physique.

Nous voulons trouver expérimentalement des paramètres décrivant précisément les changements que les atomes libres subissent quand ils sont regroupés ensemble pour former un solide. Parmi ces changements, on peut déterminer les transferts de charge électronique d'un atome à un autre de telle sorte que le nombre d'électrons (ici quantité d'électricité) centré sur l'atome soit un paramètre significatif. Les autres changements sont dénommés déformations.

Nous utilisons seulement des paramètres qui peuvent s'évaluer de façon sûre à partir des données.

L'investigation en termes de grandeurs physiques est le premier but de notre analyse.

I- Définition atomique

L'hypothèse que le cristal est composé d'atomes implique, dans ce contexte, que la densité de charge composite du cristal est la somme de contributions atomiques.

est la position moyenne du n^ième atome et est la somme sur tous les atomes.

La définition de l’atome doit provenir des propriétés du cristal. L'atome libre est un système complètement différent et ne peut en aucun cas fournir une base à ce propos.

Il est clair qu'il n’existe pas de définition unique pour les atomes d'un cristal. Il est tout aussi évident qu'aucune partie éloignée de la distribution de charge électronique ne puisse être attribuée à un atome déterminé. On ne peut raisonnablement attribuer [un électron] une charge à un atome que si elle est suffisamment proche de son noyau. Nous appelons cela la nécessité de localisation indispensable à la définition de l'atome pour être physiquement raisonnable.

Le choix des régions atomiques doit correspondre au volume des pics atomiques des densités électroniques, donné par la répartition électronique. Il faut alors obtenir la région atomique pour chaque atome indépendamment, en cherchant le moyen le plus naturel de la séparer de son environnement. Une solution qui semble séduisante est de prendre la surface de la région correspondant à la densité électronique minimale dans toutes les directions. Ceci conduit à un processus mathématique difficile et superfétatoire. Il est beaucoup plus pratique de prendre des régions d’exploration de forme régulière et de déterminer leurs tailles de telle sorte que la surface d’exploration intercepte les minimums. Une sphère est certainement la forme la plus naturelle à utiliser pour n'importe quelle structure, car elle tient compte du principe de localisation de façon fondamentalement isotrope. Pour explorer l’espace, il suffit alors d’utiliser des sphères concentriques de rayons croissants autour du point d’étude d’origine fixe. Les déformations définies précédemment apparaissent de façon évidente.

II- Développement multipolaire : une représentation différente de la densité de charge

Le but de l'analyse est d'obtenir physiquement des informations significatives sur les interactions électroniques et la dynamique des atomes dans le cristal. Il est alors nécessaire d'avoir une image claire de la fonction tridimensionnelle de répartition de charge représentée par les données très précises de diffraction X.

En principe, le problème est juste l'illustration d'une fonction réelle à 3 dimensions pour laquelle nous devons utiliser 4 dimensions (x, y, z, couleurs).

1) Développement multipolaire [1,2,6]

La forme du pic de densité électronique d'un atome devient encore plus évidente quand la densité électronique (1) est représentée sous la forme d'un développement multipolaire

(3)

autour de la position du centre atomique étudié.

Nous avons une représentation en 3 dimensions de la densité de charge électronique en fonction d'un ensemble de fonctions à 1 dimension ρ _nmp(r).

Ici, les Y_nmp(θ,φ) sont les harmoniques sphériques qui représentent les différents types de dépendance directionnelle spécifique à la symétrie du site atomique. Ils sont visualisés dans une vidéo film [8].

Ceci donne une illustration quantitative de la densité de charge autour du point origine dans toutes les directions. Les harmoniques adaptées à la symétrie de site de l'atome pris pour origine, minimisent le nombre de termes.

Pour la densité de charge électronique du cristal, les densités radiales ρ_nmp(r) autour d'un point fixe s’expriment en fonction des facteurs de structure expérimentaux F() à partir des séries de Fourier (1) et conduisent à l'expression

(4)

Où est la position du centre de l'atome et j_n sont les fonctions de Bessel sphériques.

V = volume du cristal

Une autre quantité extrêmement utile est la densité d’accumulation de charge multipolaire autour de chaque site atomique i définie par S _in(r_i) = B _nρ_in(r_i)r_i² ,ici, n représente une écriture contractée de nmp. B _nest la constante de normalisation qui assure que les surfaces sous les courbes donnent la charge contenue sous les lobes positifs des Y _n(θ,φ).

La majeure partie de l'atome est sphérique et est naturellement extraite en tant que premier terme n = 0 qui se réduit à la forme spécifique

(5)

tandis que les autres termes n>0 montrent différents types de non-sphéricités en concordance avec la symétrie du site. Pour n = 0, les densités radiales d’accumulation de charge sont

S_i0(r_i) = 4πr²ρ_i0(r_i)r_i².

Dans l'analyse, les termes (0, _{cut off}) sont expérimentaux, la continuité asymptotique (_{cut off}, ) est assurée par un modèle gaussien analytique, contrôlé, adapté, assurant avec justesse la continuité de la série. La forme de la fonction radiale 4πr²ρ₀(r) montre à quel point l'atome est séparable de son environnement. Elle présente un minimum à r = R appelé le rayon de meilleure séparation. Ce rayon donne une idée semiquantitative de l'extension effective de la densité de charge de cet atome dans le cristal.

Par développement multipolaire, le facteur de diffusion atomique f() est

(6)

où S = 2 sinθ/λ, et θ_s , φ_s angles de l’espace réciproque

(7)

où

et j_n(x) sont les fonctions de Bessel sphériques.

Dans l’obtention de la connaissance de la phase expérimentale due aux déformations ioniques, les composantes f_nmp du développement multipolaire du facteur de diffusion atomique f() ont prouvé leur utilité [6].

L’existence même des composantes multipolaires significatives est un fait expérimental. Pour chaque atome, chaque composante possède en elle-même une caractéristique tridimensionnelle de sa répartition de charge.

2) Harmoniques sphériques

Chaque terme du développement ρ() (3) est le produit d'une fonction radiale ρ_nmp(r) et d'une fonction angulaire Y_nmp(θ,φ).

Les harmoniques sphériques Y_nmp(θ,φ) n = 0, 1, 2, ..., m = 0, 1, ..., n, p = ± sont un outil mathématique de base en physique et en chimie.

Comme ensemble complet orthogonal de fonctions, ils forment la base naturelle pour représenter des fonctions en coordonnées sphériques, telles que les distributions d'orientation en 3 dimensions de la même manière que l'ensemble [sin(nφ), cos(nφ)] les décrivent en 2 dimensions. Par conséquent, un développement multipolaire

est capable de représenter tout champ de scalaires en 3 dimensions comme des densités de distributions ou des potentiels, et cela peut être généralisé à des champs de vecteurs et de tenseurs.

Cette représentation devient encore plus fructueuse quand le champ a un ou plusieurs centres naturels. On peut alors penser qu'au voisinage de chaque centre, le développement aura peu de termes prédominants d'ordres peu élevés (n petits) caractéristiques du centre. La nature physique de ce centre peut se déduire de ces quelques termes.

Dans la représentation de champs réels, l'ensemble des harmoniques sphériques réels

Y_nmp(θ,φ) n= 0, 1, 2, ..., m = 0,1, ..., l, p = ±

est utilisé comme base. Cet ensemble est facilement symétrisé pour toute symétrie ponctuelle pour prendre en compte la symétrie du centre. Par un choix approprié des axes de coordonnées (x, y, z) et pour la plupart des symétries ponctuelles, la symétrisation revient à effectuer une multiplication par 1 ou par zéro des divers harmoniques engendrant un sous-ensemble d'harmoniques sphériques réels. Seules les symétries cubiques et icosaédriques conduisent à des fonctions spécifiques appelées harmoniques cubiques et harmoniques icosaédriques. Une discussion détaillée du procédé de symétrisation et des harmoniques adaptés à la symétrie de site est donnée par [4, 5].

Pour construire les développements multipolaires dans un cas particulier et pour interpréter la signification de chaque terme, une vue claire du comportement des harmoniques sphériques en 3 dimensions est nécessaire. Toutes les propriétés des harmoniques peuvent évidemment être extraites des expressions bien connues

à partir des fonctions de Legendre associées :

et des polynômes de Legendre :

Les symétries par rapport à l'axe z sont évidentes à partir de ces expressions. L'emploi de (x, y, z) pour (sinθ cosφ , sinθ sinφ , cosθ ) est un apport supplémentaire pour souligner les symétries des harmoniques d'ordres peu élevés envers les plans et les axes. Toutefois, une algèbre abstraite n'aide guère pour créer une image mentale claire du comportement tridimensionnel des harmoniques, image nécessaire pour reconnaître les faits essentiels dans l'interprétation. Nous avons visualisé le comportement tridimensionnel des harmoniques dans un DVD ou Visualisation 3D d'harmoniques sphériques, cubiques et icosaédriques - C [8].

La dépendance angulaire est imposée par les éléments de symétrie de la structure cristalline.

3) Filtre spatial

Dans notre analyse multipolaire, l'attention se focalise dans la maille, sur un seul atome à la fois. A partir de la densité totale de charge, chaque contribution atomique est atteinte séparément en étudiant le comportement directionnel des harmoniques d'ordres peu élevés de la répartition de charge autour de l'atome considéré. Les termes d'ordres élevés d'objets locaux deviennent non observables à moins qu'ils ne soient immensément grands. Ceci constitue un filtre mathématique spatial. Donc, la contribution électronique des atomes voisins est filtrée dans la représentation mathématique en ne considérant que des termes significatifs d'ordres peu élevés du développement multipolaire de l'atome considéré. Ainsi, chaque composante multipolaire peut être discutée séparément.

La forme intégrale de la densité de charge due aux différents effets des liaisons devient alors évidente, et on voit comment les électrons des atomes individuels contribuent à la formation des caractères différents de la densité de charge du cristal.

La liaison entre les atomes affecte d’abord la forme de la distribution de charge de l’atome. Dans le mot liaison, il y a, à la fois, la position atomique et la répartition électronique réelle liée à cette position et non une distribution électronique associée, prédéfinie (la théorie des orbitales ne satisfait qu’à des lois a priori, elle ignore à la fois la connaissance expérimentale de la partie radiale de la fonction d’onde R(r) et la phase due aux déformations ioniques [6]). Les propriétés physiques de la matière sont beaucoup plus liées à la géométrie spatiale des répartitions de charge électronique qu’à la seule géométrie des positions atomiques. Il faut impérativement chercher à observer cette géométrie tridimensionnelle des répartitions expérimentales pour comprendre les propriétés du nuage électronique. Voir organosilicié

Notre analyse multipolaire dégage la nature tridimensionnelle de la densité de charge autour des centres atomiques ou de tout autre point intéressant. On peut alors connaître l'origine des différents faits spatiaux en les assignant à leurs atomes "parents" et caractériser les types de comportement multipolaire.

En même temps, l'analyse multipolaire amoindrit le "bruit", attire l'attention sur les seules propriétés significatives et élimine la présence d’artefacts, apparitions d’extra-charges inhérentes aux cartes conventionnelles de Fourier.

La visualisation Fourier en 3D ne donne qu’une vue globale de la répartition électronique sans la moindre référence quant à l'origine ou la signification des propriétés observées.

Notre analyse multipolaire a des avantages indéniables sur la représentation Fourier de la densité globale de charge du cristal.

L'information est alors découverte sous une forme prête pour une interprétation immédiate. Il devient alors possible d'attribuer les détails de la carte Fourier aux différents atomes et aux différentes formes multipolaires comme partie intégrante du comportement tridimensionnel des densités de charge atomiques.

Contrairement aux méthodes conventionnelles de calcul standard, notre fonction radiale associée est extraite des mesures et non pas choisie arbitrairement [1,2, 6]. Elle donne une pure représentation de la densité de charge électronique du cristal centrée sur la région choisie par exemple : un site atomique ou un point quelconque.

Notre développement multipolaire possède également une utilisation pertinente en tant que méthode simple et visuelle pour montrer quantitativement des faits tridimensionnels présents dans le cristal.

4) La référence

Pour mieux faire ressortir les effets du champ cristallin sur les formes atomiques, ces dernières sont discutées en terme de différences par rapport à celles d'un standard. Ce standard est bâti à partir de la superposition d'ions libres sphériques soumis à l'agitation thermique des ions du cristal. Les différences [F_exp- F_std] sont introduites à la place de F() pour calculer les séries (1), (4) ou (5) où F_exp sont les facteurs de structure observés et F_std les facteurs de structure du standard.

Par exemple, pour nos différents études de l’ion O^2–, les facteurs de diffusion atomique théoriques sont ceux établis par le modèle de Sanger [3].

De plus, une grandeur physique d'abord évaluée théoriquement (th) notée F_th devient ensuite expérimentale en additionnant les résultats de la série différence de coefficients F() = F_exp - F_th.

Pour éviter toutes oscillations de coupure de série, une bonne précision de la référence dans la région du terme résiduel de l'espace réciproque est atteinte par la superposition d'atomes libres en mouvement rigide harmonique, c-à-d en prenant les facteurs de diffusion atomique théoriques pour le coeur des couches internes électroniques.

Dans les régions de valence, le modèle simple formé par la superposition des atomes libres théoriques en mouvement rigide est insuffisant puisque la signification physique des paramètres obtenus par diffraction X s'étend au delà de la validité du modèle lui-même. Une différence conceptuelle existe entre les atomes réels du cristal et la description de la superposition d'atomes, a priori [1,2,6,7,9,10,11].

Les paramètres obtenus forment la base naturelle d'une analyse plus approfondie extrayant des termes tels que : anharmonicité, non rigidité, transfert de charge, déformations, interactions électroniques… Ces effets peuvent donc s'obtenir sans la nécessité d'utiliser des paramétrisations sophistiquées et prédéfinies des modèles, c’est-à-dire sans l’emploi de modèles structuraux pour prédire une représentation de la distribution de charge.

La représentation multipolaire construit la vue de la maille en morceaux tridimensionnels, chacun montrant un atome avec son environnement immédiat.

La plupart des observations intéressantes concerne les mouvements et les interactions des atomes c'est-à-dire des faits qui sont bien dans le domaine de la représentation multipolaire et qui sont facilement décrits par les composantes d'ordres peu élevées.

Pour les courbes Δ f _n(S) et les Δ S_n(r) représentant les écarts par rapport au standard, on peut noter que l’interprétation se fait, par exemple dans le cas des harmoniques cubiques et pour des régions à valeurs positives de Δ S_n(r), comme suit :

- la composante d’ordre 4 transfère des charges électroniques des directions <111> vers les directions <100>,

- la composante d’ordre 6 transfère des charges des directions <110> principalement vers les directions <111> et dans une moindre mesure vers les directions <100>,

- la composante d’ordre 8 collecte des charges plus précisément vers les directions <100> et aussi dans une certaine mesure vers les directions <110> à partir des directions intermédiaires.

Pour les régions à valeurs négatives de Δ S_n(r), les transferts de charge ont le sens opposé.

Ainsi, en regardant les combinaisons des signes dans les régions internes et externes d’un atome et en les comparant, on peut rapidement déduire la nature tridimensionnelle de la combinaison de ces composantes c’est-à-dire la nature tridimensionnelle des transferts de charge globaux ainsi que leurs relations avec la nature des différents effets électroniques pour les atomes.

La visualisation 3D englobe toutes les composantes multipolaires des transferts de charge.

III- Composés non centrés : Problème des phases- représentation en 3 dimensions

Les phases dues aux positions atomiques sont classiquement connues. Le vrai problème qui n’est pas simple à résoudre est la phase due aux effets des déformations ioniques. A ce jour, il n’avait pas été résolu.

La détermination précise des répartitions de charge dans les composés non centrés requiert une finesse extrême de la connaissance des phases pour prendre en compte les déformations ioniques. Pour tenir compte de l’effet des déformations ioniques sur les phases, on a créé une procédure itérative. Ce problème des phases dues aux déformations ioniques réputé insoluble a été élégamment traité [6] The phase problem.

Conclusion

Il est clair que la détermination de la répartition de charge électronique doit se faire directement à partir du cristal lui-même.

Le modèle de l'atome libre n'est pas capable de donner une base réaliste surtout au niveau des électrons de valence pour l'étude de la répartition de charge électronique dans le cristal.

Comme la diffraction par RX fournit l'information sur la répartition de charge électronique, elle est donc le moyen le plus direct pour obtenir la vraie répartition électronique.

La méthode d'analyse à utiliser pour extraire des données, des quantités intégrées physiques, est l'approche basée sur l’analyse des composantes expérimentales du développement multipolaire. Grâce à ce développement, des faits tridimensionnels se déduisent de l'étude de fonctions à une dimension ρ_nmp(r). A partir de cette méthode d'analyse, nous pouvons non seulement utiliser des cartes séries différences multipolaires c’est-à-dire relatives à chaque ion mais des quantités intégrées directement couplées aux grandeurs physiques.

Notre Analyse Directe Multipolaire atteint expérimentalement la fonction réelle de localisation électronique de chaque atome,

- analyse les relations spatiales entre atomes et forces interatomiques,

- calcule l’aspect quantitatif des grandeurs physiques au niveau atomique,

- calcule également, à partir des facteurs de structure, des quantités intégrées qui sont proportionnelles à des grandeurs physiques macroscopiques telles que, par exemple, l'énergie de Coulomb, la susceptibilité diamagnétique, ...

- fournit la vue réelle hypsométrique du nuage électronique de l’atome.

Le développement multipolaire permet de reconstruire facilement les données en 3 dimensions pour les utiliser pour une meilleure visualisation des résultats expérimentaux.

La visualisation en 3 dimensions permet de voir et d’appréhender beaucoup plus facilement les répartitions électroniques provenant de chacun des atomes étudiés.

Les vues obtenues par ordinateur mettent en évidence la force du phénomène et sa géométrie rendant ainsi possible une perception visuelle d’éléments fondamentaux d’informations invisibles jusqu’à maintenant. On voit l’atome tel qu’il est dans le champ cristallin. L’atome devient un objet concret.

L’obtention directe des répartitions réelles de charges permet de comprendre les mécanismes entre l’établissement des propriétés physiques qui jouent un rôle clef en physique des solides, en science des matériaux, en biologie, dans l’élaboration de matériaux nouveaux, …

La connaissance des édifices de répartitions de charges expérimentales interatomiques en fonction des composés à propriétés physiques connues permettra l'élaboration de composés à propriétés physiques prédéfinies.

Références

[1] G. Vidal, J.-P. Vidal & K. Kurki-Suonio, Acta Cryst. A 34, (1978), 594-602.

[2] J-P. Vidal, G. Vidal, M. Galtier & K. Kurki-Suonio, Acta Cryst. A 37, (1981), 826-837.

[3] P.L. Sanger, Acta Cryst. A 25, (1969) 694-702.

[4] K. Kurki-Suonio, Isr. J. Chem. 16, 115-123 (1977).

[5] M. Kara & K. Kurki-Suonio, Acta Cryst. A 37, 201-210 (1981).

[6] G. Vidal, J.-P. Vidal, K. Kurki-Suonio & R. Kurki-Suonio, Acta Cryst. A 43, (1987), 540-550.

[7] G. Vidal, J.-P. Vidal, K. Kurki-Suonio & R. Kurki-Suonio, Acta Cryst. A48,(1992) 46-60.

[8] J-P. Vidal, K. Kurki-Suonio, G. Vidal-Valat, and R. Kurki-Suonio, DVD version française «Visualisation des harmoniques sphériques, cubiques et icosaédriques » durée 30mn ou version anglaise «Vizualisation of Spherical, cubic and icosahedral harmonics », Visualisation 3D d'harmoniques sphériques, cubiques et icosaédriques - C

[9] J-P. Vidal, G. Vidal & K. Kurki-Suonio Kristallografiya, vol. 47, N° 3, pp391-405, 2002 en russe

Crystallography. Reports, vol. 47, N° 3, pp347-361, 2002, en anglais.

[10] J-P. Vidal, G. Vidal & K. Kurki-Suonio Kristallografiya, vol. 49, N° 3, pp357-369, 2004 en russe

Crystallography. Reports, vol. 49, N° 3, pp424-434, 2004, en anglais.

[11] J-P. Vidal, G. Vidal & K. Kurki-Suonio Kristallografiya, vol. 50, N°1, pp. 20-26, 2005, en russe

Crystallography. Reports, vol. 50, N°1, pp. 23-29, 2005, en anglais.